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Bienvenue sur le site de Bertrand Lemennicier  Le but de toute association politique est la conservation des droits naturels et imprescriptibles de l'homme, ces droits sont : la liberté, la propriété, la sûreté et la résistance à l'oppression (Article 2 de la déclaration des Droits de l'Homme et du citoyen du 26 août 1789)  "Quand même tu aurais à vivre trois mille ans, et trois fois dix mille ans, dis-toi bien que l'on ne peut jamais perdre une autre existence que celle qu'on vit ici-bas, et qu'on ne peut pas davantage en vivre une autre que celle qu'on perd". Marce Aurèle, Pensées, Livre II, maxime 14  "La vertu de la rationalité signifie la reconnaissance et l'acceptation de la raison comme notre seule source de connaissance, notre seul juge des valeurs et notre seul guide d'action" Ayn Rand , La vertu d'égoisme,  J'ai le pouvoir d'exister sans destin, Entre givre et rosée, entre oubli et présence. Médieuse de Paul Eluard 1939 

La théorie des choix financiers

par Bertrand Lemennicier

 

Il est difficile aujourd'hui de ne pas évoquer la théorie économique des choix financiers dans un cours d'économie même pour des débutants ou quasi débutants tant la finance a pris une place importante en sciences économiques sous la pression de la demande des étudiants d'une part et d'autre part des entreprises en mal de gérer leur portefeuille d'actions et d'obligations. Les économistes qui ont développé cette branche de l'économie ont été récompensés par quatre Prix Nobel. Ceci démontre amplement l'intérêt qu'il faut accorder à un chapitre tel que celui-ci. Il constitue une extension des chapitres précédents sur les choix inter temporels et l'incertitude. La théorie des décisions financières cherche à comprendre comment les individus arbitrent entre des investissements qui ont des rendements incertains sur plusieurs périodes. Les choix financiers couvrent aussi bien l'analyse de portefeuille que celle des titres et valeurs boursières, les contrats financiers futurs, à terme, à option etc., la comptabilité financière ou la politique d'investissement de la firme ou celle de distribution de dividendes, le commerce bancaire ou tout ce qui touche au marché des changes et à la finance internationale. Cette branche de l'économie a connu un essor considérable depuis une quinzaine d'années. Cependant nous ne ferons qu'introduire l'étudiant à la théorie financière, des cours et des manuels plus approfondis en font le tour et l'étudiant qui désire se spécialiser dans ces matières peut les travailler.

 

13.1 Diversification et actifs financiers risqués

Imaginez que vous soyez prêt à investir 10 000 F sur le marché boursier dans deux firmes différentes : celle de François ou celle de Henri. L'une fabrique des lunettes de soleil (celle de François), l'autre des parapluies. Les prévisions météorologiques annoncent qu'il y a une chance sur deux pour que le prochain été soit ensoleillé ou pluvieux. Dans quelle firme devez vous placer cette somme de 10 000 F? Les actions F de la firme de François, comme les actions H de Henri, se vendent au prix de 1000 F pièce. Si l'été est pluvieux les actions H montent et atteignent la valeur de 2000 F pièce, en revanche les actions F baissent à 500 F pièce. S'il fait beau c'est l'inverse que l'on observe: les actions de François montent jusqu'à 2 000 F celles de Henri baissent jusqu'à 500 F.

Reportons nous à la matrice suivante:

Pluie 1/2

Soleil 1/2

Espérance de revenu

actions F de François

500

2,000

2,500 F (10 actions)

actions H de Henri

2,000

500

TOTAL

2,500 F

2,500 F

Si vous achetez 10 actions de l'une des deux firmes vous avez une chance sur deux de gagner 10 000 F ( lorsque l'action monte de 1 000 F à 2 000 F) ou de perdre 5 000 F ( lorsque l'action baisse de 1 000 à 500 F). Votre gain moyen est alors de 2500 F. Si vous décidez d'acheter 5 actions de chaque firme, vous diversifiez votre patrimoine entre les deux firmes. Vous êtes sûr alors de gagnez 2500 F. En effet s'il pleut vos 5 actions de François diminuent de 1000 à 500 F vous perdez 2500 F. En revanche, les 5 actions de Henri montent de 1000 à 2000 F, vous réalisez un gain de 5000 F soit un gain net sur votre patrimoine de 2500 F. Maintenant s'il fait beau, Les actions de François montent et vous gagnez 5000 F, tandis que celles de Henri baissent et vous perdez 2500 F. Au total vous gagnez 2500 F. Quelque soit le temps vous êtes certain , en diversifiant votre patrimoine , de gagner 2500 F.

Reportons-nous maintenant au graphique 13.1 suivant où l'on représente les deux portefeuilles d'actions dans l'espace des biens contingents. Sur l'axe vertical on représente les revenus lorsqu'il fait beau et sur l'axe horizontal ces mêmes revenus lorsqu'il pleut. Le portefeuille correspondant à François est situé au point A. Celui correspondant à Henri est situé au point B. Ces deux portefeuilles- non diversifiés- ont la même espérance de revenu : 2500 F. Joignons par une droite ces deux portefeuilles. Ils se situent sur une droite où chaque point correspond à un portefeuille dont l'espérance de revenu est constante et égale à 2500 F. Le portefeuille diversifié , D, (5 actions dans la firme François et 5 dans l'autre firme, celle de Henri) donne un revenu certain de 2500 F. Il se situe donc sur la droite de certitude, mais en même temps sur la droite AB puisque au point D le revenu certain est équivalent à l'espérance de revenu des projets risqués A et B. Avec une neutralité des préférences pour le risque, l'individu est indifférent entre diversifier son patrimoine ou placer celui-ci dans un seul projet risqué. Mais en présence d'une aversion pour le risque, la courbe d'indifférence qui passe par le point A et B et qui donne la même satisfaction est convexe. Or par définition, D est un point moyen entre A et B, il est donc préféré à A et B. Dès qu'il existe une aversion pour le risque, la diversification du portefeuille sera préférée.

figure001_fr.gif

Dans l'exemple que nous avons pris les actions des deux firmes sont parfaitement et négativement corrélées. De telles actions sont très difficiles à trouver. De manière générale les actions sont positivement corrélées. Mais, et c'est là l'intérêt de la diversification, si les actions ne sont pas parfaitement et positivement corrélées, il y a quand même un gain à diversifier son patrimoine.

La diversification des titres financiers, en présence d'une corrélation parfaite et négative des rendements assure aux individus un revenu certain quelque soit les risques qui affectent le portefeuille.

13.1.1 L'analyse de portefeuille dans l'espace des biens contingents

Supposons que vous déteniez une richesse initiale provenant de feu votre oncle de Medellin d'un montant W°. Pour vous enrichir, vous pouvez placer ce montant dans un titre sûr, en achetant une certaine quantité X d'obligations, B, au prixet rapportant un taux d'intérêt réel monétaire de. Ce placement vous rapporte au bout d'un an. Vous pouvez aussi placer ce montant initial, W° , dans un titre risqué en achetant une certaine quantités d'actions, Y, de l'entreprise " François " dont le prix est deet le rendement est desi la conjoncture est bonne dans le secteur où elle offre ses services etsi la conjoncture y est mauvaise. Dans le cas où la demande qui s'adresse à cette entreprise augmenteest supérieur à. A contrario si elle baisse,est inférieur à. Pour simplifier posonset. g mesure un gain et l une perte. Au bout d'un an ce placement dans le titre risqué, F, vous rapporte :

ousi la conjoncture est bonne;

ousi la conjoncture est mauvaise.

Représentons cette technologie de placements financiers par la relation entre le rendement des titres et la richesse dans les divers états de nature : bonne fortune ou mauvaise fortune. Nous pouvons écrire sous forme matricielle cette relation :

1)

Pour simplifier on peut écrire la matrice 1) sous la forme compacte :

.

L'investisseur dispose au début de la période d'une contrainte de budget de :

2 )

expression que l'on peut réécrire sous forme matricielle :

ou encore :> 0

L'investisseur tire une satisfaction de sa richesse selon les états de nature que l'on écrit comme à l'habitude sous la forme d'une espérance de l'utilité de la richesse :

3)

ou encore sous forme matricielle :

Il existe alors deux stratégies. Tirons les valeurs de X et Y du système d'équations 1) et substituons dans la contrainte 2), puis maximisons 3) sous cette nouvelle contrainte. Soit on substitue 1) dans 3) et on maximise 3) sous la contrainte 2). Cette dernière stratégie ne vaut que si le nombre d'états de nature est identique au nombre d'actifs financiers.

Adoptons la première stratégie et maximisonssous la contrainte

En tirant les valeurs de X et Y du système d'équations 1)

4)

avec image_13_a.gif

et en substituant dans la contrainte de budget on trouve :

4)

Reportons-nous au graphique 13.2. L'axe vertical représente les revenus des titres risqués quand la conjoncture, dans le secteur où opère l'entreprise, est bonne. L'axe horizontal indique l'inverse.

figure_13_b.gif

Figure 13.2

Le point F représente le titre risqué. Ces coordonnées dans l'espace des biens contingents sont obtenus en concentrant toute la richesse initiale dans cet actif :. Dans la période d'euphorie la richesse en fin de période sera de :. En revanche, en période de difficultés, celle-ci sera de :. Les coordonnées du point B, représentent le titre sûr rapportant un taux d'intérêtindépendant de la conjoncture du secteur considéré. En partant de la situation où l'on concentre toute sa fortune initiale W ° dans le titre sûr, la richesse en fin de période est. Nous sommes sur la droite de certitude. Partons du point B. S'il déplace toute sa fortune initiale dans un titre risqué il accepte de perdre la somme de :si l'état de nature mauvaise fortune se réalise. En contrepartie il obtient un gain si l'événement contraire se matérialise :. C'est le coût d'opportunité à échanger une situation certaine pour une situation incertaine. Ce ratio, dans l'exemple choisi, est juste égal à

6)image_13_e.gif

posons:image_13.gif

réécrivons l'équation 6)

image_13f.gif

Le rendement attendu est composé de la valeur future d’un gain (ou d’une perte) en capital lié à la différence de prix de l’actif risqué et sûr au moment de l’achat (ou de la vente)  et du rendement attendu entre le titre risqué et le titre sûr .

 Ce coût d'opportunité s'interprète dans l'espace des biens contingents comme le prix relatif des deux états de nature. Appelonsce ratio. L'investisseur tire une satisfaction de sa richesse en fin de période selon les états de nature : la conjoncture est bonne ou au contraire elle est mauvaise. Au point F il obtient un certain niveau d'utilité. De même au point B. S'il a une aversion pour le risque. Il préférera par définition un point moyen aux points extrêmes. On peut donc rechercher quelle combinaison de titre sûr et risqué maximise l'espérance de l'utilité de la richesse. Pour cela on procède comme à l'habitude en recherchant quel est la rentabilité minimale, s*, qu'exige cet investisseur pour sacrifier la situation de certitude et maintenir constant sa satisfaction. Celle-ci s'écrit :

7) s*=

Si s* >image035.gif

la demande d'actifs financiers risqués est nulle

Si s*< ou = image035.gifelle est positive.

La combinaison optimale sera obtenue au point où :

8)image035.gif=

Dans le cas particulier où le nombre d'actifs financiers est identique au nombre d'états de nature, la maximisation précédente dans l'espace des biens contingents trouve son image dans l'espace des actifs financiers. Maximisons la fonction d'utilité 5) sous la contrainte 4) par rapport à Y et X , en substituant 2) et 3) dans 5).

9) Max de

sous la contrainte : W°=

Les conditions de premier ordre s'écrivent :

10)

Simplifions ces conditions. On obtient :

11)

12)

La combinaison optimale du portefeuille, dans l'espace des actifs financiers, est obtenue au point où le franc dépensé dans le titre risqué rapporte la même somme que le franc placé dans le titre sûr. Le franc dépensé dans l'actif risqué rapporte un revenu qui est une moyenne pondérée des utilités marginales du rendement du titre dans les deux états de nature : bonne fortune ou mauvaise fortune, conditions d'optimum habituelles.

Revenons à la figure 13.2. L'individu consacre BE de ses revenus à des actions risquées et FE aux titres sûrs. Cette fraction dépend fondamentalement de l'aversion pour le risque, de la probabilité subjective avec laquelle l'individu anticipe les événements bonne fortune ou mauvaise fortune et du rendement moyen réel de l'actif risqué dans chaque état de nature et du rendement du titre sûr, ici le taux d'intérêt réel monétaire de l'obligation.

La combinaison optimale du portefeuille est obtenue au point où le franc dépensé dans le titre sûr rapporte un rendement juste égal à l'espérance d'utilité marginale du rendement du titre risqué.

Introduisons maintenant un autre actif risqué celui de la firme Henri. Reportons-nous à la figure suivante. Nous avons introduit un titre plus risqué que celui de la firme " François ". Lorsque la conjoncture est mauvaise les rendements du titre H sont inférieurs à ceux du titre F. Mais si la conjoncture est bonne dans le secteur où opère la firme Henri, cet actif rapporte plus de revenus que l'autre. Dans le cas précédent de deux actifs F et B, la droite de budget de fin de période était représentée par le segment FB. Avec ce nouvel actif financier, nous avons la possibilité de placer toute la richesse dans les points B ou F ou H. Nous pouvons combiner linéairement les actifs H et F et atteindre n'importe quel point entre H et F, ou bien combiner H et B et atteindre un point quelconque sur le segment HB. On peut aussi combiner les trois actifs et se situer quelque part à l'intérieur du polyèdre HFB. Clairement les facettes HF et FB domine HB et toutes combinaisons à l'intérieur de l'aire OHFB. Le choix entre les deux facettes " efficientes " sera décidé par la plus ou moins grande aversion pour le risque. Le graphique ci-dessous suggère qu'avec une faible aversion pour le risque, l'investisseur choisit une combinaison des deux titres H et F risqués.

L'introduction d'un nouveau titre qui serait plus sûr et qui rapporterait plus que les autres bouleversera le portefeuille en éliminant les autres titres du choix de l'investisseur. Il peut exister une grande variété de titres risqués dont les rentabilités moyennes et les risques diffèrent. On va donc sélectionner les titres qui ne sont pas dominés par d'autres, puis rechercher parmi eux, les combinaisons linéaires de titres qui donnent l'espérance d'utilité la plus élevée.

Jusqu'à maintenant nous n'avons pas introduit la possibilité d'emprunter pour acheter des titres risqués, ni de les vendre à découvert. Reportons-nous à la figure 13.4. Plaçons nous sur le segment HF. Si vous anticipez que la firme " Henri " va se trouver dans une conjoncture particulièrement bonne, vous pouvez emprunter de l'argent au taux d'intérêtet placer le montant de cet argent dans le titre risqué, H. Si la conjoncture est bonne pour l'entreprise H, vous augmenter considérablement vos gains en capital. A ce moment là vous êtes au-delà de H sur la droite H.F. Vous pouvez aussi anticiper que la conjoncture sera mauvaise et vendre les titres de cette firme H à découvert. Vous les vendez au début de la période en anticipant qu'à la fin de la période la chute des rendements attendus affectera le prix de l'actif financier à la baisse de telle sorte qu'en la rachetant en fin de période comme l'impose cette vente à découvert votre richesse s'améliore du profit de l'opération. Vous déplacez votre arbitrage au-delà de F en direction de la bissectrice.

L'ensemble des opportunités d'améliorer sa richesse est agrandie grâce à ces possibilités de vendre à découvert ou d'emprunter.

Emprunter et vendre à découvert pour acheter des actifs financiers risqués permet d'accroître les possibilités de richesse dans l'espace des biens contingents.

En absence de possibilité d'emprunter ou de vendre à découvert, la diversification du portefeuille repose sur un principe d'aversion pour le risque. Si les préférences révélaient une aversion absolue, toute la richesse serait placée dans le titre sûr puisque les courbes d'indifférence seraient des équerres à la bissectrice. Si à l'inverse les préférences étaient concaves toute la richesse serait placée dans un titre risqué : celui qui donne l'utilité la plus élevée. Mais cette opportunité offerte par le marché financier d'emprunter ou de vendre à découvert, fait qu'un individu qui a une aversion totale pour le risque, entre sur le marché et prend des risques qu'il n'aurait pas pris autrement.

13.1.2 Effets revenu et prix

On peut prédire à partir de l'analyse précédente l'impact des effets revenu et richesse, comme l'effet prix consécutif à une hausse du taux d'intérêt réel monétaire sur les choix de portefeuille. Revenons à la figure 13.2. On remarquera très simplement qu'une hausse de la richesse -c'est-à-dire de tous les revenus dans les mêmes proportions- déplace parallèlement à elle même la droite FB. Cet effet richesse montre clairement que l'individu va détenir davantage ou moins d'actions par rapport aux obligations selon ses goûts. Si le nouveau point d'équilibre est tel que les proportions de la richesse détenue en obligations et en actions restent inchangées on se trouve sur une courbe d'expansion de la richesse qui est une droite passant par l'origine. L'élasticité richesse pour les titres risqués est alors égale à l'unité. On remarquera que cette élasticité peut être supérieure à l'unité si, lorsque la richesse croît, l'individu met une part de plus en plus grande de son revenu dans des actions ou des titres risqués! Les actions sont alors des biens de luxe.

Une hausse du taux d'intérêt réel monétaire est une hausse du rendement du titre sûr. Cette hausse a trois effets. Un effet substitution qui pousse à adopter un portefeuille d'actions plus risqué et à le combiner avec le titre sûr qui rapporte désormais un intérêt plus élevé. Un effet substitution qui pousse à concentrer son épargne sur des obligations et un effet de revenu réel qui s'ajoute ou se retranche selon les goûts à ce dernier effet substitution. L'effet final sera plutôt de consacrer une proportion plus grande de son épargne à un portefeuille d'obligations, mais simultanément le reste de l'épargne sera consacré à l'achat de titres plus risqués qu'auparavant.

 

13.2 Principe d'arbitrage et évaluation du prix des actifs financiers

Dans ce qui précède nous avons considéré comme donné le prix des actifs financiers. Il va de soi que si certaines combinaisons de titres donnent des rendements plus élevés que d'autres, le prix des actifs de cette combinaison vont prendre en compte ce phénomène. Il devrait exister une relation entre le prix des actifs financiers et les rendements de ces actifs. Intuitivement on peut argumenter de la façon suivante. Si les actifs ont la caractéristique d'offrir un certain rendement selon chaque état de nature, et si la valeur pour l'investisseur de ce rendement dans chaque état de nature se mesure par,, alors le prix de l'actif financier n'est pas autre chose que la somme des valeurs des rendements dans chaque état de nature :

13)

Si le prix de l'actif valait moins que cette somme, que l'on peut interpréter comme une espérance de rendement, cela impliquerait des profits non exploités, l'opportunité serait saisie par des investisseurs jusqu'à ce que le prix de l'actif soit égal à la somme des valeurs de ses caractéristiques.

13.2.1 Principes généraux de l'évaluation des actifs financiers

Revenons à nos deux actifs financiers, l'action F, et à l'obligation B. Prenons toutes les combinaisons d'actifs qui sont situées sur la frontière d'efficience dans l'espace des biens contingents : facette FB. Par définition un point quelconque de cette frontière d'efficience dans l'espace des biens contingents a son image dans l'espace des actifs financiers. Il est tel que les dépenses sont minimales pour une structure de la richesse qui est maximale dans chaque état de nature. La combinaison d'actifs financiers qui donne une richesse maximale dans les états de nature est la solution du programme linéaire suivant :

14)

ou sous forme matricielle :

Formons le Lagrangien :

15)

Les conditions de minimisation des dépenses s'écrivent :

16)

De ces conditions d'optimum on déduit les valeurs optimales de X * et Y * en fonction des rendements et du prix des actifs. Substituons ces deux valeurs dans la fonction de dépenses et ajustons le scalaire w* de telle sorte que W°=ou sous forme matricielle :. Sur la frontière d'efficience, pour un niveau de richesse dans les états de nature qui est maximal, w* , un programme dual correspond à cette minimisation. Il est tel que :

17)

ou sous forme matricielle :

,sont les prix implicites des états de nature. Les conditions de premier ordre de cette maximisation donnent :

18)

On tire alors les valeurs optimales des prix contingents,ou des prix des états de nature de ce système d'équations à partir des deux dernières équations :

Si nous faisons le ratio de ces deux prix implicites, on retrouve effectivement l'équation 6) que nous avons développée plus haut:

Revenons à la forme matricielle nous avons :Reportons les valeurs des prix implicites dans la fonction objectif, à l'optimum on obtient l'égalité suivante :

De ce théorème de dualité on déduit l'existence d'un système de prix implicites,des états de nature. On peut alors affirmer que l'investisseur dans l'espace des biens contingents maximise localement l'espérance de l'utilité de la richessesous la contrainteavecqui est la stratégie que nous avons adoptée au début du chapitre. Les prix futurs des actifs financiers s'expriment donc en fonction des taux de rendements et des prix implicites des états de nature :

19)

Ces prix des actifs financiers ne sont pas autre chose que la somme de la valeur de chaque titre dans chaque état de nature. De ce système d'équations à deux inconnues, nous l'avons vu, on tire la valeur des prix contingents. En effet, la valeur future du titre sûr est toujours égale à. Sinon il y aurait une opération avantageuse d'arbitrage. Si la valeur future de l'obligation excède le rendement, elle est trop coûteuse et les investisseur vendent. Le prix baisse. En revanche, si elle est inférieure c'est une opportunité de profit certain et les investisseurs achètent, le prix montent. On en déduit que la somme des prix implicites des états de nature,est égale à l'unité :. Comme ces prix implicites sont non négatifs, on peut alors les interpréter, comme des prix que met le marché sur l'apparition des événements bonne fortune et mauvaise fortune. Une fois exploités tous les arbitrages avantageux, ces prix implicites sont égaux aux probabilités d'apparition de chaque état de nature telles que le marché financier les révèle. Le prix implicite futur de l'actif risqué n'est plus alors que l'espérance de rendement de l'actif financier.

Le prix d'un actif financier n'est pas autre chose que la somme de la valeur de chaque titre dans chaque état de nature, et la valeur de chaque titre dans chaque état de nature révèle les probabilités d'apparition de ces événements tels que le marché les anticipent.

De cette équation fondamentale on tire l'idée simple que la différence de prix entre l'actif risqué et le titre sûr est juste égal à la différence entre l'espérance de rendement de l'actif risqué et le rendement du titre sûr :

19)

C'est la prime de risque de l'actif financier. Elle est positive.

13.2.2 Le principe d'addition des valeurs

Nous venons de voir que le prix d'un actif financier s'écrivait:

20)

Prenons maintenant un autre actif financier, une SICAV, dont le rendement dans l'état de nature, bonne fortune ou mauvaise fortune, est une combinaison linéaire du rendement du titre risqué " François " et du titre sûr :

21)où a et b sont des constantes arbitraires. Substituons dans l'équation précédente cette valeur du rendement de l'actif financier S.

22)

soit :

23)

Le prix d'un actif financier, dont les rendements sont une combinaison linéaire du rendement d'autres actifs financiers, est donné par la même combinaison linéaire du prix de ces actifs financiers. La valeur de l'ensemble est égale à la valeur de la somme des parties. C'est le principe d'addition des valeurs. Prenons le rendement de deux actifs financiers F et G. Ceux-ci peuvent être corrélés positivement ou négativement. Si ces deux titres sont corrélés négativement le risque résultant de la combinaison de ces deux actifs est moindre que pris séparément, comme nous l'avons montré plus haut dans le graphique 13.1. La diversification a une valeur sur le marché des actifs financiers risqués. On devrait donc observer qu'une combinaison de ces deux types d'actifs vaut plus que la somme des valeurs de ces deux actifs financiers. Il n'en est rien. Le principe d'arbitrage nous assure que la valeur de cette combinaison ne peut pas être autre chose que la somme des valeurs des actifs pris ensemble. Les prix des actifs financiers reflètent toujours la valeur du portefeuille. Si la combinaison valait plus que la somme il y aurait un profit certain et les arbitragistes achèteraient les deux actifs séparément et revendraient la combinaison des deux. De manière identique si la combinaison valait moins que la somme, ils achèteraient la combinaison et revendraient séparément les titres! Comme combiner à nouveau les titres, assure un profit certain quand les opérations d'arbitrage sont faites, le prix de la combinaison de ces deux actifs ne peut être différent de la somme des prix des deux actifs pris séparément.

Le principe d'arbitrage implique le principe d'addition des valeurs. La valeur d'une combinaison d'actifs financiers ne peut différer de la somme des valeurs des actifs pris séparément parce que les prix ont déjà capitalisé tous les profits certains.

13.2.3 Propriété de martingale et hypothèse d'efficience des marchés

Intégrons maintenant la dimension temporelle dans l'analyse. Revenons à l'action de la firme " François ", F, le prix futur de cet actif financier,, a été calculé pour une seule période. Le début de la période marquait le présent et la fin de la période le futur. Introduisons maintenant plusieurs périodes. Le prix de l'actif financier risqué a un prix à chaque période. Soitle prix de l'actif financier à la date t la valeur future du prix de l'actif financier, F, à la date t+1 et dans l'état de nature s : bon ou mauvais est égal à. Nous avons alors la relation suivante entre les prix présent et futur :

24)

Le prix de l'actif à la date t est égal à la valeur présente de l'espérance mathématique des prix à la date t+1, selon une loi de probabilité,révélée à cette date par le marché. Cette relation est une martingale.

Le prix d'un actif à la date t est égal à la valeur présente de l'espérance mathématique de son prix à la date t+1. Cette relation est une martingale.

Elle résulte du principe d'arbitrage. Les prix futurs à une date plus éloignée ne peuvent différer de la valeur future des prix à une date rapprochée ou la valeur présente des prix futurs d'un actif à une date plus éloignée ne peut être différent du prix à une date rapprochée. Imaginons que le prix à la date t, soit inférieur à la valeur présente du prix moyen attendu à la date t+1. Tous les investisseurs achètent le titre en t pour le revendre en t+1. Imaginons l'inverse. La valeur présente du prix moyen attendu en t+1 est inférieur au prix du titre en t. Les investisseurs vendent à découvert le titre à la date t pour le racheter à la date t+1 et saisir l'opportunité de profit. S'il en est ainsi les prix suivent alors un processus de marche aléatoire ou un mouvement Brownien. Comme les prix capitalisent toutes opportunités de profit certain, toute information qui donne naissance à un profit certain est immédiatement capitalisée dans les prix, en particulier les informations sur les prix passés. Les seules informations qui peuvent affecter les prix sont alors celles qui sont imprévisibles ou qui ne peuvent donner naissance à des profits certains. Le mouvement des prix suit donc un processus stochastique de marche aléatoire. Ainsi la variation du prix des actifs suit une loi statistique de la forme :

25)

où Z(t) est une loi normale standard,représente le trend du prix de l'actif financier etla variation aléatoire du prix du titre autour de ce trend. De cette propriété de martingale on peut tirer quelques leçons. Nous en retiendrons trois.

1) Le marché n'a pas de mémoire. Les prix passés ne contiennent aucune information susceptible de prédire les prix futurs. Il est toujours étonnant de voir des spécialistes de la finance faire des prédictions à partir des trends observés dans le passé.

2) Il faut faire confiance dans les prix de marché. S'ils capitalisent toutes les informations sur les titres, un investisseur ne peut espérer un rendement supérieur à celui du marché sous le prétexte qu'il a des informations inédites sur la prochaine O.P.A.

3)Il n'existe pas de fondamentaux dans une économie. On ne peut lire ou interpréter la valeur d'une action à partir du bilan de l'entreprise ou de sa gestion ou encore de l'environnement économique dans lequel elle se développe. En effet cette information est déjà capitalisée dans les prix. En revanche, savoir lire les prix est très utile pour prévoir le futur, non pas des prix, mais d'une firme ou d'une économie. Le marché boursier peut nous en dire long sur l'évolution d'une firme. Si le prix de ses actions reflètent toutes les informations disponibles, il reflète ses profits anticipés. C'est la raison pour laquelle les prix des actions d'une firme sur un marché boursier en disent plus long sur celle-ci que sa comptabilité ou sur un audit.

Merton Miller

(1923- )

Prix Nobel in 1990

(avec Markowitz et Sharpe)

Professeur à la Graduate School of Business à l'Université de Chicago. On retiendra ses travaux fondamentaux sur le financement des entreprises qui a donné son nom à un Théorème

Question d'évaluation

Vrai, faux ou incertain?
Si les prix des actifs à une date quelconque sont indépendants entre eux, on devrait pouvoir diversifier son patrimoine en mettant à une date donnée toute sa richesse dans un titre sûr et à une autre date donnée toute sa richesse dans un titre risqué. Cette stratégie cependant est moins efficace que de diversifier son patrimoine à chaque instant entre un titre sûr et un titre risqué.

Réponse : Vraie
Reportons-nous au graphique suivant. Sur l'axe horizontal on porte le temps. Sur l'axe vertical le rendement de chaque actif. r mesure le rendement du titre sûr qui ne varie pas avec la conjoncture. x mesure le rendement de l'actif risqué. Celui-ci à pour moyenne E(x). Autour de cette moyenne le rendement varie. On imagine que les variations autour de la moyenne sont indépendantes. Si les individus avaient une parfaite connaissance de l'évolution des cours du titre risqué, il adopterait la stratégie suivante : en t1 ils détiennent 100% de leur richesse en obligation rapportant r, en t2 ils vendent et achètent des titres risqués, en t3 ils revendent et concentrent leur richesse dans le titre sûr etc. Si les prix des actifs risqués suivent une marche aléatoire, on pourrait chercher à diversifier son patrimoine d'une manière temporelle en concentrant sa richesse dans un actif risqué et dans un titre sûr alternativement d'une date à l'autre et ce au hasard.

Prenons deux périodes. Le rendement du portefeuille est de E(x)0 +r1. Est-ce que ce rendement est supérieur, inférieur ou égal au rendement atteint lorsque sur ces deux périodes on diversifie son patrimoine entre le titre sûr et le titre risqué?

Nous avons : µ(E(x)0 +(1-µ)r0 +µE(x)1+(1-µ)r1 ; est-ce que ce terme est supérieur à E(x)0+r1?

En présence d'une aversion pour le risque, par définition µ(E(x)0 +(1-µ)r0 > E(x)0 ou r0. Un point moyen est toujours préféré à un point extrême. De manière identique µE(x)1+(1-µ)r1 est préféré à E(x)1 ou r1, donc la diversification à chaque instant du temps entre les deux actifs donne une satisfaction plus élevée qu'une diversification des actifs entre les dates au cours du temps.

 

13.3 Options et " futures"

Peut-on se protéger contre la volatilité des prix des actifs financiers ou de certaines matières premières? La réponse est positive. C'est une forme d'assurance. Reportons-nous au graphique habituel. Sur l'axe vertical on représente la richesse quand les prix sont favorables et sur l'axe horizontal la richesse quand les prix sont défavorables. Le point de certitude est le prix à la date initiale. Tous les points en dehors de la bissectrice traduisent le prix incertain en fin de période. Prenons un exemple : le marché des "futures". Beaucoup de contrats sont passés à un prix courant mais ne sont réalisés que dans le futur. Lorsque vous achetez une maison sur plan vous payez un prix ferme à la commande, mais vous n'êtes livré que des mois plus tard. Un commerçant qui achète du café en gros pour le torréfier a le choix entre acheter cette marchandise maintenant, à un prix ferme, point C, et être livré dans un an, après la récolte (forward contract, ou sur le marché à terme) ou attendre un an et acheter le café dont il a besoin au prix courant du café (spot or cash market ou marché au comptant) dans un an, point F. Mais si le prix dans un an est plus élevé que celui d'aujourd'hui (la récolte a été plus mauvaise que prévue) il aurait mieux fait d'acheter maintenant à un prix ferme et être livré dans un an. Au contraire, s'il achète maintenant à un prix ferme et que dans un an, le prix courant est inférieur au prix qu'il a acheté parce que la récolte a été plus abondante que prévue, il perd de l'argent.

Comment se protéger contre cette volatilité des prix de marché? Vous êtes un commerçant qui constituer des stocks de grains de blé. Vous achetez aux paysans de votre région pour 10 000 boisseaux de blé à $2 le boisseau. Vous voulez le revendre dans six mois. Pendant ce temps vous stockez le blé et cela vous coûte $0.05 le boisseau. Mais dans six mois vous ne savez pas quel sera le prix de marché du boisseau de blé. S'il s'établit à $2.20 la vente de vos 10 000 boisseaux vous rapporte $1500 ( vente $22 000 moins achat $20 000 soit un profit de $2000 diminué des coûts de stockage $ 500). Si ce prix s'établit à $1.85 vous perdez $2000. ( achat $20 000 moins vente $18500 soit une perte de $1500 auquel on ajoute les frais de stockage $500). Vous pouvez alors, pour vous protéger contre ce risque de fluctuation des prix, vendre, non pas votre stock de blé, mais votre droit de propriété sur ce stock qui sera vendu et livré dans six mois à un prix ferme de $2.05 le boisseau (qui est le prix courant plus les frais de stockage et qui comprend la rémunération de celui qui stocke).

Si le prix courant dans six mois est de $2.20, la valeur du stock qui ne lui appartient plus s'est accrue de $2000. L'acheteur du contrat, -i.e. le nouveau propriétaire du stock qui est un spéculateur- qui n'a pas payé les $20500 au moment où il a contracté, puisque la vente du stock se réalise six mois plus tard, demande simplement la différence à celui qui stocke, vend et livre la marchandise dont il n'est plus propriétaire mais en quelque sorte le gardien soit la somme de $1500. L'acheteur gagne $1500 sans avoir fait autre chose que signer un papier et s'être porté acheteur en espérant que le prix courant du blé dans six mois serait supérieur à $2.05 le boisseau -prix auquel il achète. Le commerçant qui stocke la marchandise n'a rien gagné mais n'a rien perdu.

Admettons maintenant que le prix courant dans six mois au lieu d'être de $2.20, soit de $1.85. Le commerçant qui détient le stock, le livre et obtient un revenu de $18500 alors qu'il a vendu ferme pour $ 20500, il demande donc au spéculateur la somme de $2000. Le commerçant qui stocke ne perd rien et ne gagne rien non plus, mais le spéculateur doit débourser $2000.

En fait le spéculateur achète un titre de propriété sur un boisseau de blé. Il l'achète au prix ferme de $2.05. Le rendement de cet actif financier n'est pas autre chose que la variation de prix au moment où le stock est vendu. Mais ce titre de propriété est négociable sur un marché financier : celui des " futures ". A tout moment le spéculateur peut revendre sur ce marché le titre de propriété à quelqu'un d'autre. On remarquera que le commerçant s'est couvert entièrement contre le risque de fluctuations des prix du stock de blé. Le spéculateur a pris, en contrepartie, entièrement à sa charge, le risque de cette transaction. Mais lui aussi va chercher à se couvrir contre le risque de perdre de l'argent. D'abord il peut vendre ce titre ou emprunter pour en acheter en plus grande quantité, il peut combiner ces titres risqués avec d'autres titres plus sûrs etc. Un marché des "futures" est un marché organisé où de telles transactions sont possibles. Sur un tel marché celui qui achète pense que le prix va monter et celui qui vend pense exactement le contraire. Une divergence d'opinions doit exister quant aux anticipations de prix.

Un tel marché des " futures " génère une information primordiale : il prédit les prix futurs! Si le prix de ces contrats sur le marché des "futures" est inférieur au prix courant dans six mois, il existe une opportunité de profit pour celui qui prédit mieux que les autres, il se portera acheteur. Comme il n'est pas le seul à pouvoir prédire correctement le prix futur d'autres acheteurs feront de même et la rivalité entre les acheteurs pousse le prix des "futures" jusqu'au point où il sera égal au prix courant futur! Les prix des "futures" sont de bons indicateurs de ce que seront les prix dans le futur! Les spéculateurs éliminent l'incertitude sur les prix courants, stabilisent les prix des "futures" et déterminent la politique de stockage. On pourrait remplacer le commerçant très directement par le paysan qui produit du blé et décide de vendre sa récolte avant qu'elle ne soit produite et livrée! On fera un raisonnement identique. Le spéculateur élimine l'incertitude sur le revenu de l'agriculteur, stabilise les prix des "futures" et détermine par la même occasion la production de l'agriculteur.

De tels contrats peuvent se généraliser à d'autres activités que la production ou le stockage de matière première. Mais l'intérêt de tels marchés réside dans la volatilité du prix des matières premières. S'il n'y avait pas de telles fluctuations de prix, les commerçants ou les paysans ou les producteurs de pétrole n'éprouveraient pas le besoin de s'en protéger.

L'imagination des financiers n'a pas de limites quant il s'agit de réduire les risques ou saisir de nouvelles opportunités de profits. De nombreux investissements consistent en une promesse d'achat ou de vente qui donne un droit d'achat ou de vente à une date déterminée ou pour une durée déterminée, mais non pas une obligation d'acheter ou de vendre. Ces promesses constituent ce que l'on appelle dans le jargon des financiers des " options ". Par exemple une entreprise désire acheter un équipement supplémentaire ou un terrain adjacent à une date ultérieure pour s'agrandir dans le cas où l'investissement se révèle être particulièrement rentable. L'investisseur ne veut pas se priver d'une opportunité de profits du fait d'une capacité trop faible à se développer si le marché croît plus vite qu'il ne le pensait. Il prend alors une " option " sur le terrain pendant une durée déterminée à l'avance. La promesse d'achat vaut par exemple 10 % de la valeur du terrain. Le jour venu ou à la fin de la période d'option, il décide d'acheter le terrain ou de ne pas l'acheter. Au bout de cette période il sait si s'agrandir rapportera beaucoup d'argent auquel cas il exerce son option et achète le terrain. Mais il peut aussi s'apercevoir que cela n'est pas nécessaire. Il renonce alors à acheter le terrain et n'exerce pas son option. Il perd alors les 10 % de la valeur du terrain qui était le prix de la promesse d'achat.

Revenons à notre investisseur qui achète 10 000 boisseaux de blé à $2,05 le boisseau au commerçant qui stocke la marchandise pour l'écouler dans six mois.

Ce spéculateur a plusieurs solutions :

1) il supporte le risque. Dans six mois le prix du blé est à $2,20 le boisseau, il gagne $ 1500. Mais si le prix du blé dans six mois vaut seulement $1,85, il perd $2000.

2) il se couvre à terme en vendant ses titres de propriété à un autre spéculateur au prix de $2,10 le boisseau sur un marché des " futures ". Il est sûr de faire un profit de $500 s'il trouve un acheteur à ce prix qui pense que le prix du boisseau de blé dépassera $2,10 dans six mois.

3) il se couvre à terme en vendant ses titres de propriétés à un autre spéculateur à un prix limite de $2, 10. S'il trouve un acheteur à un prix supérieur il vend.

4) enfin, il achète une option de vente sur les 10 000 titres de propriété qu'il détient à un prix d'exercice de $2,15 et il paie cette option $15 000. Si le prix du boisseau de blé tombe en dessous de $2,15 il exerce son option et reçoit $6500 ($21 500-$15 000). En revanche, si le prix monte à $2,20, l'investisseur abandonne son option et empoche $7000. ($22 000-$15 000).

L'innovation financière vient de ce que l'exercice de cette option d'achat ou de vente est elle-même négociable sur un marché organisé : un marché dérivé! Ce qui a beaucoup intrigué les analystes financiers c'est la question suivante : quelle peut bien être la valeur de cette option sur ce marché dérivé?

Revenons aux titres F de la firme " François " et à l'obligation B. Introduisons maintenant un nouveau titre O une " option d'achat " sur F. Le rendement de l'obligation est toujours, celui de l'action F deselon l'événement bonne fortune ou mauvaise fortune. Le prix de l'action F est de. Le rendement du nouveau titre par définition s'écrit :, c'est-à-direest le prix auquel l'investisseur désire acheter l'action F à la date t+1. En effet, le droit n'est exercé que si le rendement de l'action, dans la situation de bonne fortune, est supérieur au prix d'achat de l'action elle-même. Dans le cas contraire, on n'achète pas et le rendement de l'option est nulle. Quel est alors le prix de l'option sur ce marché dérivé à la date t initiale?

Appelonsle prix de cette option à la date t sachant que le prix de F vautet celui de l'obligation vaut. Nous savons que le prix d'un actif risqué est une espérance de rendement.

Revenons à l'équation 19), le prix d'un actif financier est la somme des prix implicites des rendements des actifs dans les différents états de nature :

27)

Développons la troisième égalité.

28)

par définition du maximum des deux termes.

29)

du fait de la linéarité.

30)

par définition des prix des actifs financierset. Si on exprime le prix de l'option en termes du prix de l'obligation que l'on normalise à l'unité on obtient :

31)

Le prix de l'option doit être égal au prix de l'action F à la date t moins la valeur actuelle du prix auquel on désire l'acheter à la date t+1 quand on exerce son droit d'achat. Déterminer la valeur de tels produits dérivés est même devenue une affaire de technique financière réservée aux spécialistes.

 

13.4 Risque et rendement : le modèle espérance-variance

Habituellement la théorie des choix financiers est présentée d'une manière quelque peu différente de l'approche que nous avons adoptée. Revenons sur la construction du bloc d'opportunité de revenu. Le prix d'une action François varie au jour le jour et cette variation peut être caractérisée par une distribution normale de moyenneet de variance. De la même manière on peut caractériser l'évolution du prix de l'action Henri; soitetla moyenne et la variance de cette nouvelle distribution . Si un investisseur consacre x F à l'achat d'action François et (1-x) F à l'achat d'action Henri, le rendement attendu de son portefeuille boursier se mesure très simplement de la façon suivante:

La partie la plus difficile est de calculer la variance du portefeuille. La variance est la somme des variances de chaque titre plus un terme qui exprime la covariance des rendements des deux titres :

où COV(F,H) est la covariance entre le prix des deux actions. S'il est égal à+ 1 ou - 1 les deux titres sont parfaitement corrélés, s'il est nul les deux titres sont indépendants. On peut alors représenter le rendement attendu de ce portefeuille et son écart type dans le plan Espérance Variance.

En faisant varier les proportions deet (1-x) des deux titres dans le portefeuille, on obtient ce que l'on appelle une frontière d'efficience, car pour un même rendement l'investisseur choisit la combinaison qui lui offre l'écart type le plus bas, c'est-à-dire le risque le plus faible. Quelle combinaison choisir? Supposons qu'il existe une possibilité d'acheter des obligations dont le revenu est certain :. On peut alors rechercher parmi les combinaisons efficientes du portefeuille risqué celle qui combinée avec l'obligation donne la richesse la plus élevée. C'est alors la combinaison qui est tangente à la droite passant par le taux de rendement des obligations. Appelons E* cette combinaison. L'individu peut alors mettre une fraction de son patrimoine dans les actifs risqués et une autre partie dans les titres sûrs: les obligations. Il prête à un taux d'intérêt certain et risque une partie de sa richesse avec un portefeuille risqué mais qui rapporte un rendement plus élevé. Il peut même emprunter au taux d'intérêt des obligations et avec le montant emprunté placer cet argent dans le portefeuille risqué.

La droiteE représente la contrainte de budget dans le plan "espérance- variance". La pente de cette droite mesure un coût d'opportunité puisqu'elle donne le supplément de rendement espéré E-pour un accroissement d'une unité du risque encouru V . Si tous les individus qui participent au marché boursier sont d'accord sur les paramètres , Espérance Variance, des distributions normales des prix des actions François et Henri, E* est alors le portefeuille dit de marché. On obtient un théorème de séparation.

Les investisseurs sur le marché vont avoir un montant de richesse et des positions d'emprunteurs ou de prêteurs différents, mais tous détiendront les actions du portefeuille risqué dans les mêmes proportions.

Le choix d'une position d'emprunteur ou de prêteur est en revanche déterminé par la confrontation de la contrainte de budget avec les préférences. Reportons nous à la fonction d'utilité attendue. Nous pouvons approcher par une série de Taylor la fonction d'utilité utilisée plus haut et retenir dans cette approximation les termes faisant apparaître l'espérance et la variance. On peut ainsi représenter la fonction d'utilité habituelle en termes de deux paramètres : espérance et variance.

On choisit alors sur la contrainte de budget la combinaison de titres sûr et risqué qui donne la satisfaction la plus élevée. Cette combinaison est obtenue en égalisant le coût d'opportunité à l'échange à celui dans les préférences :

Si les préférences diffèrent, les investisseurs combineront de façon différente les proportions de leur richesse consacrée au portefeuille risqué et aux titres sûrs.

Ce modèle est très utilisé par les théoriciens des choix financiers, en dépit d'une faiblesse consécutive à la spécification de la fonction d'utilité compatible avec l'approximation de l'espérance de l'utilité de la richesse. Celle-ci doit être quadratique et la distribution de probabilité de moyenne E et de variance V doit être normale. Mais une fonction d'utilité quadratique implique que les titres risqués sont des biens inférieurs! En dépit de cette faiblesse et sans doute parce que cette approche est commode, on l'utilise toujours.

Il peut être intéressant pour terminer cette section de revenir sur le prix des actions ou des titres risqués. Cherchons à mesurer le risque d'un actif particulier par rapport au risque de l'ensemble du portefeuille. On appelle "bêta" (de la lettre grecque, ß ) le risque d'un titre particulier par rapport au risque du marché ou d'un portefeuille entier.

Par définition, on écrit :

Si ß est égal à 1 l'action que l'on achète est aussi risquée que celle du portefeuille entier; si ß est inférieur à l'unité ce titre est moins risqué. La valeur d'un tel titre devrait donc être très élevée parce qu'il sera très recherché. Si le prix d'une action ou son coût d'opportunité est mesuré par, la valeur de la contribution du risque de cette action au risque du portefeuille s'écrit :

Le rendement d'une action dont la valeur de la contribution au risque de portefeuille est non nulle sera diminué ( ou augmenté) de ce montant :

mais si ce rendement est supérieur ( resp. inférieur) à celui du rendement d'un titre sûr,

> ,< à

tout le monde se précipitera pour acheter ce titre risqué. Le prix de cette action va alors monter (resp. descendre) jusqu'à ce que l'on obtienne l'égalité suivante:

Cette dernière équation dit que le rendement attendu d'un titre ou d'une action risquée doit être égal au taux d'intérêt réel monétaire sur un titre sûr (une obligation) plus un rendement supplémentaire pour accepter le risque encouru en achetant une action. En présence, d'un arbitrage une telle égalité se maintiendra. Cette équation est le résultat principal de ce que l'on appelle le modèle du "Capital Asset Pricing Model" (CAPM) qui est couramment utilisée lorsque l'on étudie les marchés financiers.

Nous arrêterons là cette incursion dans le domaine de la finance pour ne pas décourager les étudiants qui veulent continuer leurs études dans un tel domaine. Un grand nombre d'étudiants choisit de faire une filière finance, telle qu'elle est offerte dans un cursus universitaire ou une grande école, dans l'espoir d'y faire des profits anormaux. Les étudiants qui désirent faire de la finance ne peuvent s'attendre à avoir des revenus supérieurs à ceux qu'ils pourraient obtenir dans une autre profession, par exemple celle d'artiste. Si les étudiants pensent le contraire, ils n'ont pas compris ce chapitre ni le message essentiel de la finance!

 

Question d'évaluation

Question 1

Le théorème de séparation implique que les seuls motifs de détention de monnaie sont un motif de spéculation et un motif d'aversion pour le risque. Sachant cela, si l'on décide de ne plus interdire aux banques de rémunérer les comptes courants, alors il existerait simultanément des comptes courants rémunérés et des titres présentant un risque, d'où :
A. la détention de monnaie augmentera
B. la détention de titres augmentera
C. la détention de monnaie diminuera
D. la détention de titres diminuera
E. les détentions de monnaie et de titres augmenteront mais dans des proportions différentes
F. Aucune de ces réponses.

Question 2

On vous donne l'information suivante

rendements
état de nature 1
état de nature 2
prix des actifs
actif 1
12,000 F
20,000 F
22,000 F
actif 2
24,000 F
10,000 F
20,000 F

quels sont les probabilités d'apparition des états de nature 1 et 2?

Question 3

Si les prix des actifs à une date quelconque sont indépendants entre eux , on devrait pouvoir diversifier son patrimoine en mettant à une date donné toute sa richesse dans un titre sûr et à une autre date donnée toute sa richesse dans un titre risqué. Cette stratégie cependant est moins efficace que de diversifier son patrimoine à chaque instant entre un titre sûr et un titre risqué.

Question 4

Lorsque la corrélation entre les prix de deux projets d'investissement est négative et parfaite, alors le partage du capital entre les deux projets implique que
A. le risque associé au portefeuille est réduit
B. le risque associé au portefeuille est accru
C. le risque associé au portefeuille est nul
D. Aucune des affirmations

Question 5

Léonard vit dans un pays sujet à un climat très capricieux. Il sait que s'il investit 1000 F dans une action de la fabrique de parapluies de son Etat, il peut encaisser les dividendes et la revendre pour 1500 F si l'année a été pluvieuse et seulement pour 750 F si l'année a été ensoleillée. Si maintenant il investit ces 1000 F dans l'achat d'une action de la fabrique de lunettes de soleil de sa ville, il peut gagner 500 F ou perdre 250 F selon le temps qu'il a fait durant l'année. Si Léonard investit la moitié de sa fortune dans chacun des deux projets, il augmente le risque.

 

Chapitre 13

Sommaire

13.1 Diversification et actifs financiers risqués

13.2 Principe d'arbitrage et évaluation du prix des actifs financiers

13.3 Options et " futures"

13.4 Risque et rendement: le modèle espérance -variance

Question d'évaluation

 

Résumé

1. La diversification des titres financiers, en présence d'une corrélation parfaite et négative des rendements assure aux individus un revenu certain quel que soit les risques qui affectent le portefeuille.

2. La combinaison optimale du portefeuille est obtenue au point où le franc dépensé dans le titre sûr rapporte un rendement juste égal à l'espérance d'utilité marginale du rendement du titre risqué.

3. Emprunter et vendre à découvert des titres sûrs pour les placer dans des actifs financiers risqués permettent d'accroître les possibilités de richesse dans l'espace des biens contingents.

4. Le prix d'un actif financier n'est pas autre chose que la somme de la valeur de chaque titre dans chaque état de nature, et la valeur de chaque titre dans chaque état de nature révèle les probabilités d'apparition de ces événements tels que le marché les anticipe.

5. Le principe d'arbitrage implique le principe d'addition des valeurs. La valeur d'une combinaison d'actifs financiers ne peut différer de la somme des valeurs des actifs pris séparément parce que les prix ont déjà capitalisé tous les profits certains.

6. Le prix d'un actif à la date t est égal à la valeur présente de l'espérance mathématique de son prix à la date t+1. Cette relation est une martingale.

7. Dans un arbitrage espérance -variance, les investisseurs sur le marché vont avoir un montant de richesse et des positions d'emprunteurs ou de prêteurs différents, mais tous détiendront les actions du portefeuille risqué dans les mêmes proportions.

 

Lectures conseillées

R. A. Brealy &S. C. Myers , 1988,Principles of Corporate Finance , McGraw-Hill International Editions

T. E. Copeland &J. F. Weston , 1988,Financial Theory and Corporate Policy , Addison-Wesley Publishing Company.

T. Granger , 1994,Micro-économie financière , Economica

K. Lancaster , 1971,Consumer Demand : A New Approach , Columbia University Press

E. Fama &M. Miller , 1972 ,The Theory of Finance , Dryden Press

S. Ross , 1989,Finance , in The New Palgrave, Finance, Macmillan.

H. Varian , 1987,The Arbitrage Principle in Financial Economics , Journal of Perspective Economics.

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